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          《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出:“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”严格意义上讲,这主要是对几何直观的作用的解释说明,而不是几何直观的明确定义,有待于对几何直观的内涵和外延深入解读。同时,几何直观与数形结合、空间观念、直观几何、几何直觉既有联系又有区别,教师在解读几何直观的内涵和外延时很容易与数形结合、空间观念、直观几何等混淆,期望对其有明确的界定。7gL一分六合,中小学德育网

一、         几何直观“前世”何来?7gL一分六合,中小学德育网

数学发展的历史告诉我们,演绎不是几何学科的全部价值。约公元前3000年,古希腊数学家欧几里得编撰了《几何原本》。它用公理化方法建立了演绎的数学体系。它所展现的公理化体系,使“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹(爱因斯坦语)”。因此,《几何原本》的手抄本,统御了几何学1800多年,印刷本用各种文字出版1000多版以上。如此深远的影响力,也使得人们的潜意识中把“几何”就等同于“演绎证明”,相当长的时间里遮蔽了人们对几何学科特征的全面把握。俄国数学家罗巴切夫斯基从欧氏几何第五公设的否定命题出发,建构了一系列相互间不矛盾的逻辑体系,但找不到现实模型,他自称为“想象几何”。18262月,他在一次学术会议上宣讲了相关论文,但直线外的一点可以作多条平行线、三角形的内角和不一定是180度,如此等等的命题与大家在现实生活中的直观感受格格不入。比起逻辑来,直观感受才更为真实。事情的转机发生在19世纪70年代前后,意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何实在的直观模型,使得罗巴切夫斯基的几何断言,都变成了欧氏空间中可视的几何事实。于是,非欧几何作为一种几何的合法地位才得到充分建立。逻辑终究还是依赖于直观,在更多人的内心得以获得意义。7gL一分六合,中小学德育网

几何学一词,是由希腊文的“土地”与“测量”这两个单词合成的,原是“测量土地”的意思。几何在本源上表现出鲜明的直观性,而且在某些数学发展的历史节点上,如在负数、虚数、微积分等数学知识的发展过程中,几何直观图形都有力地推动了相关的数学知识获得了更广泛的认同和接纳。数学经过多层次的抽象获得抽象的概念,而更高层次抽象的概念总是以上一层次相对直观的数学对象为基础进行理性的建构。这表明,数学家依赖于直观推动对数学的进一步思考。现代许多数学理论都通过公理化方法组织起来,这些公理化了的数学知识的背后又都是从几何模型中抽象出来。现代数学的发展,使许多的数学分支渐渐远离生活源泉,但却又深刻地改变着我们的生活,而正是这些数学分支依赖着、运用着、生成着几何模型建立起了虚拟与现实之间丰富的联系。可以说,直观,特别是几何直观,让数学走下了抽象的神坛,让数学知识变得更加有趣、生动、形象、具体、现实、可操作,更推动着数学的进一步发展,以便于他人喜欢、接受、研究和运用。7gL一分六合,中小学德育网

数学学习心理学告诉我们,定义不是概念表征的主要形式。认知理论认为,学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。我们可以通过对学习者外部行为的观察与剖析,去把握学习者内部的认识过程和思维机制。数学史已经告诉我们,直观即便没有证明的价值,但对于新的发现来说却是不可或缺的依托。一些数学家对自己以及其他数学家的反省式分析,让我们获得了更多的有意义的启迪。著名的法国数学家雅克•阿达玛著有《数学领域中的发明心理学》,在其中他花了很多篇幅研究数学家们是如何思考的。据他自己的剖析和调查,在数学及其他领域中从事脑力劳动的人中,有太多采用思维表象而不是概念定义的例子,“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言,甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号”。英国数学家Griffiths在讨论数学中的直觉和领悟时曾提出,数学中最常用的思维媒介是数学结构的模型和实例,对于初学者来说,几何图形比代数符号更容易掌握和接受。这些关于数学家们的研究可能还不全面,但它们的意义在于,思维的展开更倾向依据直观形象的成分展开,而不是文字或符号叙述的定义定理。一个概念的定义清晰地揭示了该概念的内涵,但并未因此呈现概念的可见对象,并不利于人们的学习。为了理解和掌握概念,需要有实在的直观支撑。研究表明,“在定义与图形这两者中,他们更倾向利用一些图形作为概念的代表,并用它们来表示概念”。数学史中的史实,都是人创造的。史实所揭示的直观的价值,其缘由可通过心理学对人内部表征概念的研究得以说明。这也从数学发展和人的认知规律两个方面,传递着一个对数学教育极其有意义的规律:几何直观是推动思维展开的基础,也是对数学深度理解的依托。这正如苏联著名数学家A.N.柯尔莫戈罗夫所说:“要有可能,数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……几何想象,或如同平常人们所说的几何直觉,对于几乎所有数学分科的研究工作,甚至对于最抽象的工作,有着重大的意义。”7gL一分六合,中小学德育网

潜藏在数学发展与人的认知规律中的几何直观,追随在、隐藏于、呈现在数学发展的整个过程之中,推动着数学的进步。人们在学习和研究数学的过程中,思维的展开更倾向依据直观的形象。借助直观的形象背景抽象出数学的概念和定义,依赖直观的形象理解抽象的数学知识和经验,运用直观的形象创造新的数学结构和系统,而这些直观的形象中只有几何直观好理解、看得见、摸得着,发挥着不可替代的作用。7gL一分六合,中小学德育网

二、         几何直观“今生”何意?7gL一分六合,中小学德育网

所谓直观,《辞海》(第六版)的解释是:即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性;指旧唯物主义对认识的理解。 《一分六合大百科全书》的解释是:通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为interi,意为凝视。一分六合按其不同含义分别译为直观直觉。直观的字面意义是直接的观察。《现代汉语词典》(第7版)的解释是:直观,形容词,用感官直接接受的;直接观察的。7gL一分六合,中小学德育网

在哲学中,直观是指通过对客观事物的直接接触而获得感性认识的一种方式,关注的是人如何能够认识事物。而史宁中教授认为,直观是指通过对客观事物的直接接触而认识事物的一种方式,关注的 是人是如何认识事物的。史宁中教授认为教育学与哲学(以及心理学)的一个重大区别表现在,教育学关心的是人如何认识事物,不应考虑人这样表现的理由。因此,在这种意义上,我们可以将直观分为两种:一种是感性直观,另一种是理性直观。感性直观是指接触到客观事物,基于生活经验,直接通过联想、类比、分类等,对客观事物建立起相应的知识联系。它运用的是知觉和感性认识。正如康德所说,人受外部对象的刺激并做出适当的反应而产生的表象就是感性直观。它不 仅有感性经验,还有知觉判断,进而形成知识。换句话说,感性直观就是人对事物的表象马上产生的一种认识,但这种认识跟逻辑思维的关系并不密切。一个数学直观非常好或者数学素养非常高的人,可以越过长时间的思考马上看到结果。我们将这种直观称为理性直观,它是指当遇到问题后,一个人能够跨越长时间的理性思考和逻辑分析 过程,基于思维经验直接认识问题,理解问题的本质,找到解决问题的思路,推断出问题的结论。史宁中教授认为,教育只需要关心三件重要事情:一是理解事物的本质,二是启发解决问题的思路,三是直接推断问题的结论。此时便需要运用概念,因此,这是一种理性的分析。7gL一分六合,中小学德育网

.克莱因认为,数学不是依靠在逻辑上,而是依靠在正确的直观上 西方哲学家通常认为,“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。心理学家则认为,直观是从感觉的具体的对象背后,发现抽象的、理想的能力。数学直观是对客观事物进行数学抽象之后所形成的对象概念与关系概念的直观理解之上的,以具体背景为载体,未经演绎推理而对问题做出的一种迅速的直接的识别、猜想、类比、联想、转化、估计或判断的思维能力。数学直观是一个人经过日积月累的数学思维而形成的,是逐渐养成的一种思维习惯,一种数学素养。7gL一分六合,中小学德育网

数学直观不仅包含几何直观,还包含代数直观、统计直观,但是只有几何直观好理解、看得见、摸得着。蒋文蔚指出:“几何直观是一种思维活动,是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。”当代著名数学家徐利治教授提出,直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想,所产生的对事物关系直接的感知与认识,而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知换言之,通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。因此,孔凡哲和史宁中教授认为,几何直观是指,借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系) 进行直接感知、整体把握的能力。7gL一分六合,中小学德育网

综上,几何直观,是一种特殊的数学直观,借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)做出的一种迅速的直接的识别、感知、类比、联想、转化、猜想、估计、判断、预测,从整体上把握并深刻洞察的思维能力。换句话说,只有利用图形的形状、大小和位置的相互关系,来实现直观的理解问题、启发思路、推断结论的三个本质功能,才是几何直观。在小学阶段,要让学生在看图时,头脑中可以产生一种关系,以帮助学生理解问题中的某种规律,启发解决问题的思路并直接推断问题的结论,这样才能称为几何直观。7gL一分六合,中小学德育网

三、         几何直观此生界定7gL一分六合,中小学德育网

1.    几何直观与数形结合7gL一分六合,中小学德育网

在理解几何直观意义的过程中,老师们最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。在参与的一些以几何直观为话题的教研活动,都呈现出了一个共同之处:教师呈现的所谓几何直观的例子,都是以前所讲的数形结合的例子。教师们更有这样的认识:几何直观,无非是数形结合的“同名词”,或者可能只是数形结合的“升级版”而已,这足以说明对数形结合与几何直观作出区分是非常必要的。7gL一分六合,中小学德育网

数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过以形助数以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的。也就是说解决数学问题时,可借助于的直观来理解抽象的“数”,或反过来运用的描述来刻画的特征。正如华罗庚所言:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。7gL一分六合,中小学德育网

数形结合最基本的形式为以形助数以数解形。在小学数学中的解决实际问题中,我们常运用画线段图来分析其中的数量关系,这样的情况就可叫做“以形助数”。而我们在直角坐标系中,用数对来描述图形的变化(如平移、旋转),或计算两点之间的距离等,这样的情况则可叫做“以数解形”。“以形助数”,是在发挥“形”所具有的直观特点,来降低“数”的抽象度;而“以数解形”,则是在利用“数”的精确性,来准确刻画“形”,让“形”得以量化。如此,直观与抽象相互配合,取长补短,从而顺利、有效地解决问题。如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点,它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道,由此及彼、由彼及此,起着相互促进的作用。7gL一分六合,中小学德育网

从几何直观的概念可知,它是指“利用图形描述和分析数学问题”。那么,我们不得不产生这样的理解:几何直观就是用“形”来解决数学问题。尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数”,可以是“形”或者其它数学问题。但不管怎样,如果与数形结合做个对比,那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已。7gL一分六合,中小学德育网

在小学数学中,因为以数解形的例子极少,所以就造成了老师们谈及数形结合时,都是举了单向的由“形”出发解决“数”的例子。如此一来,我们自然就会遇到这样的情况:在小学中,数形结合和几何直观所举的例子似乎是一样的。或许就是因为这样的原因,曾有专家提出:在小学数学中,不必区分数形结合和几何直观。这样的观点,也不无道理。 7gL一分六合,中小学德育网

当然,尽管有这样的观点,但并不是说几何直观就是数形结合的下位概念。如果我们要将几何直观与数形结合的以形助数作区别的话,那就必须要抛开表面的相似,而去找到两者关键的区别。7gL一分六合,中小学德育网

几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”、“深刻洞察”和“整体把握”。具体地说,数形结合的以形助数,的确是借助于“形”来分析“数”,但是,这个“形”需要我们相对规范地得出,解释的过程更是要借助于“形”的细节严谨地开展,是带有初步的演绎推理的成分(已类似于证明)。而几何直观,也是在用“形”,但这个“形”,可以是眼睛见到的,可以是画出的,也可以是大脑想到的。更重要的是,它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其它本质属性的感知,即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察,直接把握对象的全貌和对本质的认识。”直白地讲,几何直观中的“形”更加宽泛,是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式,它是基于经验的、表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。这明显与用规范的图形来严谨地进行说理是不一样的。7gL一分六合,中小学德育网

因此,几何直观与数形结合虽有一定联系,却并非同一意义,往往为很多人所混淆,也是在所难免的。7gL一分六合,中小学德育网

2.    几何直观与空间观念7gL一分六合,中小学德育网

对几何直观的论述,《义务教育数学课程标准(2011年版)》中还出现在课程总体目标中的“数学思考”部分,即建立数感、符号意识和空间观念,初步形成几何直观和运算能力,发展形象思维与抽象思维。7gL一分六合,中小学德育网

这样的表述,向我们传递着几何直观的同时,更让我们去关注句中出现的另一个熟悉的名词——空间观念。之所以要拿出它们两者来进行讨论,是因为空间观念的形成过程也是与几何图形紧密相关的。更重要的是,在实验稿的课标中,“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考”,是作为空间观念的特征来描述的。而在《标准》中,这句话略作修改竟变成了几何直观的定义——几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。于是,这不禁让我们深思:几何直观和空间观念,它们到底存在怎样的关联呢?7gL一分六合,中小学德育网

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。《义务教育数学课程标准(2011年版)》从四个方面来具体描述空间观念特征,它可以看成是物体和图形的形状、大小、位置、关系等在人脑中的表象(周玉仁语)。7gL一分六合,中小学德育网

从对象上来看,空间观念不仅涉及根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体,而且涉及想象出物体的方位和相互之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等 而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。可见,几何直观与空间观念有重叠的成分,诸如根据几何图形想象出所描述的实际物体等,但是,二者各有侧重。空间观念倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力,而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握的能力。空间观念,是几何教学领域中的一个专用名词,是几何教学的一个重要目标。而几何直观,却并非是限于几何领域内的一个名词,它尽管是借助了几何,但它却跳出了几何,适用到了更宽广的领域。相对而言,空间观念更多地体现为教学的结果,目标性特征比较明显,而几何直观作为一种思维的方式和能力,过程性特征更加凸显。此外,几何直观具有思维的跳跃性,而空间观念具有思维的连贯性。几何直观与空间观念在几何活动中共同发挥作用。7gL一分六合,中小学德育网

同时,我们不难想到,由于共同元素“几何”的存在,两者之间想要毫无瓜葛那也是不现实的。明显地,要清晰表象、发展空间观念,宜借助图形,采用观察、操作、想象等直观手段,但这样的过程中就已经隐含了运用几何直观方法的元素。反之,在运用几何直观方法思考问题、解决问题的时候,观察、操作、想象等手段也必定相伴而行,空间观念自然也在潜移默化地得到发展。7gL一分六合,中小学德育网

3.    几何直观与直观几何7gL一分六合,中小学德育网

谈起几何直观,又不得不提及听到的另一个名词——直观几何。那么,几何直观和直观几何,这两者又是怎么回事呢?7gL一分六合,中小学德育网

我们在初中阶段都经历过这样的几何学习——从定义、公设、公理或已证的命题出发,通过一系列严谨的步骤、严密的推理,完成对某个命题的证明。这样的几何就是论证几何,或称之为证明几何。论证几何有利于培养人的逻辑思维能力,提高人的理性思维水平,欧几里得的《几何原本》就是一个典范,它为数学的发展和人类的进步做出了卓越的贡献。但是,人除了逻辑思维能力之外,还需要形象思维能力。而在几何的学习中,如果能“从直观形象这一侧面”(希尔伯特语),通过观察、想象、操作等手段去认识图形、发现规律或解决问题,那么,人的形象思维能力就会得到良好发展,发现能力和创新精神也会得到有效培养。这种“通过图形进行观察,根据直观认识来研究图形的性质和相关问题,以这种方法为主要手段的几何学叫直观几何。”7gL一分六合,中小学德育网

在小学数学中,由于学生的年龄特点和认知特点,他们学习几何需要更多地从经验入手,通过观察比较,或通过动手操作,从而获得对图形的认识,并发展空间观念。这种以观察、操作等为手段得出结论的几何学习方法,就是直观几何。在小学中,无论是几何图形的特征、性质还是求积的公式,基本上都是通过这样的直观方法得到的。因此,“小学几何课程内容的性质实质上是直观几何、实验几何。”也正是因为直观几何具有诸多的论证几何所不具备的教育价值,因此,也产生了以“直观”为理念来设计几何课程的尝试,并收到显著效果,如俄罗斯的中学几何教材《直观几何》就是典范。7gL一分六合,中小学德育网

从上可见,直观几何和几何直观是两个不同的概念,直观几何是一种几何学习的方法,而几何直观则是一种解决数学问题的思维方式,是一种能力。7gL一分六合,中小学德育网

当然,尽管概念涵义不同,但它们之间却并非毫无关联。比如,经历直观几何的学习,必定能为几何直观能力的形成打下基础。因为学生通过直观方式学习几何的过程,就是一个积累几何活动经验、发展几何直觉的过程。而这种不断增强的几何经验、直觉,就会积淀并转化为学生将来用几何直观方法解决问题时可调用的丰富资源。7gL一分六合,中小学德育网

4.    几何直观与几何直觉7gL一分六合,中小学德育网

几何直观与几何直觉非常相似。所谓直觉,《辞海》的解释是一般指不经过逻辑推理认识真理的能力,而《一分六合大百科全书》的解释是一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力。近代认知心理学则把直觉看成一种再认过程,是在过去经验的基础上,从长时记忆中提取具有问题解决意义的答案过程。直觉能力是人的心理能力高度发展的表现。国内外学者普遍认为:直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力7gL一分六合,中小学德育网

一般地,对直觉的理解有广义和狭义之分。广义上的直觉是指,包括直接的认知、情感和意志活动在内的一种心理现象,也就是说,它不仅是一个认知过程、认知方式,还是一种情感和意志的活动。而狭义上的直觉是指人类的一种基本的思维方式。从哲学认识论的视角看,直觉可以分为经验直觉、知性直觉和理性直觉。虽然目前人们对直觉的生理机制了解不多,但是脑科学的最新研究结果已初步表明,直觉主要是右脑的功能。心理学的实验研究结果已证明,右脑以并行性方式思维,采取的是同时进行整体分析的策略,这就是为什么直觉 无须推理就能直接地对事物及其关系作出迅速的识别和理解的原因。许多科学家坚信,直觉是发现和发明的源泉。在阿达玛看来,在创造阶段,科学家的思维载体往往是各种各样的、因人因事而异的符号、图表或其他形象,亦即此时的思维方式往往是形象的和直觉的,而不是逻辑的。 7gL一分六合,中小学德育网

几何直观是在直观感知的感性基础之上所形成的理性思考的结果所致,是学习者对于数学对象的几何属性(或与几何属性密切相关的一些属性)的整体把握和直接判断的能力,而几何直觉属于学习者对于数学对象的感性认识,有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握,不仅有经验直觉的成分,而且有知性直觉理性直觉的成分。同时,几何直观是学习者、研究者对于数学对象的全貌和本质进行的直接把握,这种直接判断建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上,既有相对丰富的经验积累,也有经验基础之上的理性的概括和升华。几何直觉是右脑以并行性方式思维,针对几何研究对象,采取的是同时进行整体分析的策略。因而,几何直觉无须推理就能直接地对事物及其关系作出迅速的识别和理解,而几何直观则是建立在图形基础之上,以直观背景为条件而进行整体把握的。从整体把握这一点上看,二者是相似的,而从是否有逻辑性来看二者是明显不同的,几何直观的整体把握往往带有明显的逻辑成分。7gL一分六合,中小学德育网

因此,几何直观随着数学发展和人的认知规律产生,却又推动着数学的进步,帮助人们理解事物的本质,启发解决问题的思路和直接推断问题的结论。它以丰富的经验积累为背景,却又在经验基础之上进行理性的概括和升华;它借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)做出的一种迅速的直接的识别、感知、类比、联想、转化、猜想、估计、判断、预测,进而整体上把握和深刻的洞察;它与数形结合、空间观念、直观几何、几何直觉既有联系又有区别,正是这样的兼容并蓄特立独行,为我们的数学教育带来新的思考,我们应将几何直观的培养自始至终落实在数学教学的每个环节,应以保护学生先天的几何直观的潜质为起点,以有效提升学生的几何直观水平作为终点,培养学生敏锐的洞察力和深厚的数学素养。7gL一分六合,中小学德育网

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几何直观的“前世今生”

来源:一分六合  投稿人:孟庆凯  时间:2018-02-27