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点、线、面、体是几何图形的基本构成元素,它们的组合构成了事物中“形”的属性。几何起源于人类“形”的意识,而这些意识来自人类对自然界的感受和体验,来自人类适应自然、改造自然的实践活动。在小学数学中,借助几何图形中的点、线、面、体可以帮助我们深刻理解事物的本质,启发解决问题的思路,直接推断问题的结论,培养学生的几何直观能力。bqm一分六合,中小学德育网

1.    不简单的“点”bqm一分六合,中小学德育网

数作为原始概念虽不能有逻辑地进行定义,但却非常重要。数概念是数学中最基本的概念之一。刚入学的儿童在认识10以内数的时候,通过实物和图片等,将数与物一一对应起来,让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程,逐步发展数的思维。仅仅建立数与物的一一对应是远远不够,还需要建立相同数量的不同物之间的一一对应,进而与无长度、无宽度的抽象的点建立一一对应,通过不同物体与抽象的点建立一一对应,便抽象出不同物体的“数”属性。bqm一分六合,中小学德育网

几何里的“点”,只有位置,没有大小、长短、宽窄和薄厚之分,是几何图形最基本的、不可再分的元素。当10根小棒捆成一捆,抽象出10个一是1个十时,十进制计数法便悄然地来到学生身边。笔者认为,学生不仅能从日常生活中抽象出数,理解数的意义,还应该经历记数和十进位值制的创造过程。十进位值制,是我国的一大发明,从商代陶文和甲骨文中,可以看出到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这十三个单子,记十万以内的任何自然数。其记数法是按照十进制的方法来记数的,并且已经采用了位值制记数法,这在世界数学史上有重大意义。十进制的数字系统对人类的贡献极大。马克思终生喜爱研究数学,他称赞十进制记数法是最妙的发明之一。许多历史资料表明,更早地萌发了使用十进制记数法的是一分六合,正如吴文俊所说:“位值制的数字表示方法极其简单,因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义,非但为一般人们所不了解,甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼,提出算术应在一切有用的发明中列首位。中华民族是这一发明当之无愧独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨,纵然不能与火的发明相比,至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以这一发明而自豪。”bqm一分六合,中小学德育网

例如,在11-20各数的认识的教学中,倪芳老师在课堂教学中,通过辨“11”,建数位,让学生感受位值。bqm一分六合,中小学德育网

师:孩子们,我们的故事还在继续,还记得吗?聪明的古人可以1个大石头和1 个小石头表示出11,我们用小棒也能表示出11,但是问题来了,现在只有2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子了,还能表示11吗?bqm一分六合,中小学德育网

学生意见不一致,有人认为能,有人认为不能,分别请几个代表到前边来进行讨论,说说自己的想法。bqm一分六合,中小学德育网

1:(认为不能)我觉得2颗小珠子只能表示2,它就是2个,不能表示11bqm一分六合,中小学德育网

2:(认为能)我觉得可以把1颗小珠子看成10,另一颗小珠子看成1,不就行了吗?bqm一分六合,中小学德育网

3:(认为不能)可是这2颗小珠子一样大呀?又不是一颗大一颗小。bqm一分六合,中小学德育网

师:是呀,长的都一样,你怎么能让所有人都知道到底谁是10谁是1呀?bqm一分六合,中小学德育网

生:在一颗珠子上写个 10,在另一颗珠子上写个1不就行了。bqm一分六合,中小学德育网

师:你们想不想听听倪老师的想法?bqm一分六合,中小学德育网

师:其实刚才他的想法和我们的数学家的想法是特别像,数学家为我们制造了计数的工具(出示计数器),认识吗?bqm一分六合,中小学德育网

生:算盘。bqm一分六合,中小学德育网

师:这叫计数器。这是数学家帮我们发明的,看看,计数器上有好多的,从右边开始第一位叫个位,第二位叫十位bqm一分六合,中小学德育网

师:有了计数器的帮助能不能表示出 11来呢?我们来看一看。bqm一分六合,中小学德育网

师:在黑板上画计数器,然后在个位上放1颗小珠子,表示什么?bqm一分六合,中小学德育网

生:1个一。bqm一分六合,中小学德育网

师:在十位上放1颗小珠子,这可不是1个一啦!bqm一分六合,中小学德育网

生:这是1个十。bqm一分六合,中小学德育网

师:真好,1个十和1个一合起来就是11bqm一分六合,中小学德育网

教师拨11,学生继续拨12——20bqm一分六合,中小学德育网

师:会在计数器上拨数了吗?bqm一分六合,中小学德育网

师:(小结)我们不仅认识了这些数, 还能借助计数器表示出这些数。bqm一分六合,中小学德育网

当细细品读这样的教学片段,其实那2颗长得像这样颜色一样、大小也一样的小珠子不正是抽象的生活化和具体化,教师通过“2颗小珠子的争论把的值辨析清楚,把一个抽象难懂的话题变得简单有趣了,变得富有生命了,变得儿童化了。不但课堂富有生命了,也使学生对位值有了深刻的领悟,从而事半功倍地达成教学目标。bqm一分六合,中小学德育网

在两位数乘两位数的计算教学中,为了帮助学生理解算理,明确算法,青岛版教材三年级上册呈现了点子图。点子图的呈现,在青岛版小学数学教材中只出现过一次,而且是唯一的一次,就是这里。对于学生以前并没有使用过点子图,没有旧有的活动经验,在后面学生学习中,学生也再也没有遇到过,但是却有许多“类”点子图的直观图的呈现,这样的直观图的呈现对学生探究计算方法和验证计算方法都是有益的。首先点子图的呈现对学生探究计算方法是有帮助的,通过在点子图上圈圈看,可以让学生在圈、数的过程中经历如何“快速数”的过程,这个过程其实就是一种计算方法。其次,我们说它可以帮助我们验证和理解我们自己获得的方法,在数学教学中,我们追求算法多样,讲求用不同的解决问题的策略和方法来解决同一个问题,但是这样的策略和方法有时是一种猜测或尝试,我们都知道,有时好的策略和方法并不一定得到好的结果,在数学教学中亦是如此,方法再多、再精妙,有时却得不出正确的结果,这样的方法也是不足取的,因此学生有了自己的方法获得结果后有必要验证一下得到结果是否有道理、是否正确。于是,抽象的数学计算用直观的点子图“数”出来验证结果是否有道理、是否正确是最好的办法。最后,教具的设计很重要。作为帮助学生进行探索和验证的点子图,23×13还是25×15呢,我觉着用25×15更好。我们学具在使用中,很少能遇到“正好”情况,往往是要么大一些,要么小一些多用几次,如果选用23×13的点子图,不需要学生任何思考,只需要学生数一数便能得到,那样我们学具因过于简单而不利于学生思考,但当呈现25×15时,便是真正让学生用好点子图的开始,他需要明确解决问题,需要数一数、圈一圈,这样需要学生经过自己努力进行学习的学具对于学生学习更有帮助、更有价值,当学生经历过动手操作、动脑思考这样的过程后,对于点子图将不会再陌生。bqm一分六合,中小学德育网

为什么要进行直观教学,为什么让学生结合直观图呈现算法或算理的过程?这是由小学生的思维发展水平和认知水平决定的。小学生正处于由形象思维向抽象思维过渡阶段,在这个阶段学生对于“看得见、摸得着”的东西比较关注、容易接受和理解,但是对于那些“看不见、摸不着”或是比较抽象的东西反而难于理解和接受,于是我们在计算教学中,尤其是算理演绎中,可以运用直观图将算理呈现出来,以便于帮助学生理解和掌握算理和计算的方法、方式。几何直观非常形象,更利于学生接受。bqm一分六合,中小学德育网

2.    意义丰富的“线”bqm一分六合,中小学德育网

几何学中的线,与点、面、体一样,都是从立体图形中抽象出来的概念,这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素,还忽略了所占空间:点不分大小,线不分宽窄,面不分薄厚。因此,这些抽象了的概念本身是不存在的,或者说,这些抽象了的概念只是一种理念上的存在。单纯的几何学上的线,对于我们解决数学问题用处并不大,但是当线上赋予了“特定的意义”,它变成了我们解决问题的“利器”。bqm一分六合,中小学德育网

在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴,它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点;(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1(向右1个单位长度)2(向右2个单位长度)3(向右3个单位长度);从原点向左,用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度)-2(向左2个单位长度)-3(向左3个单位长度)…数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素,这三者缺一不可。数轴最重要的作用是它把数同线段的长度等价了,即在线段的长度与数之间建立了一一对应。bqm一分六合,中小学德育网

数轴的使用,不仅能帮助学生理解数的本质,而且启发学生寻找解决问题的思路。数是对数量的抽象,数的关系是对数量关系的抽象。数量关系的本质是多与少,与此对应,数的关系的本质是大与小,数学研究的不是数学概念本身,而是数学概念之间的关系。小学阶段列算式解决实际问题,其实通过算式建立数量之间的对应关系,反映的却是数量关系中多与少的本质。在青岛版一年级上册教材中,借助数轴帮助学生进行加减法的计算,一方面为学生提供了一位数加减一位数的计算方法,启迪学生解决问题的思路,积累计算活动经验,另一方面也让学生感悟到加上一个非零的自然数比原来的数大,减一个非零自然数比原来的数小,帮助学生理解数的大小的本质。借助数轴还可以帮助我们理解相反意义的量,理解负数的意义。负数最早出现于《九章算术》。 《九章算术》中记载了这样一个故事:一个人在做买卖时,他把卖牛挣的钱算正,把买东西花的钱算负。可见,负数最初的出现,不是运算的结果,而仅仅是一种表达的需求。因此,负数和正数的本质是相同的,都是一种数量关系的表达。只不过如果挣的钱算正的话,花的钱就算负;如果往东走算正的话,往西走就算负;如果往上走算正的话,往下走就算负;等等。因此,正数是对数量的抽象,负数也是对数量的抽象。例如,+2 -2,对应的数量都是2,只是意义不同。所以,正数和负数表示两个数量相等、意义相反的量 。在青岛版四年级下册认识负数中呈现了利用数轴解决实际问题。在利用数轴解决实际问题的过程中,数轴能很好的揭示数的大小关系,学生通过数的大小比较和箭头的指向建立数与点的位置关系,进而沟通数与形的关系,提升学生的几何直观能力。在这一过程中,也为学生解决类似问题提供了“脚手架”,积累了解决问题的经验,有助于学生的进一步学习。bqm一分六合,中小学德育网

在小学数学学习中,线段图可以帮助学生理解数量关系,变抽象的文字表述为具象的图形呈现,通过线段的长短建立数量多少的对应关系,进而启发学生寻找解决问题的思路。在某些实际问题中,涉及的知识较为抽象,数量关系也较为复杂,很难直接解决。教师可以引导学生通过画图的方式,直观地体现出数学问题中的数量关系。通过线段图展示数量之间关系,可以化抽象为具体,并挖掘出题目的隐藏条件,明确已知和未知之间的联系,为解决问题找到突破口,提供正确的思路,实现“文字信息”与“图形信息”之间的有效转化。线段图为小学生解决实际问题提供了直观工具,在教学中,应注重线段图教学的连贯性,培养学生的应用意识,提升学生解决问题的能力。首先在认识厘米的度量学习中,重视物体长短的比较。通过测量方法比较物体的长度,在本质上是对物体中所含“数量多少”抽象,也就是物体所含“单位长度”的多少的抽象。教学中,重视比较在度量中的价值,通过比较认识度量的本质。其次,在低年级解决实际问题中,让学生通过线段图理解数量关系是很有必要的。青岛版教材非常重视解决问题,两步、三步解决实际问题在四年级之前便能全部学完,但是学生解决问题能力并没有提高很多,反而对于一部分学生进入四年级、五年级出现了乱用运算符号,不知道如何解决实际问题的现象,原因在于过高、过快的估计了学生的学情,同时教材注重中间问题的寻找,忽视解决问题手段的教学,即线段图的呈现是零散的,不系统的。作为小学生解决实际问题非常重要的抓手,却并没有引起足够的重视。如青岛版二年级上册“倍的认识”中运用线段图的实物模型帮助学生理解倍的意义。bqm一分六合,中小学德育网

通过梳理青岛版教材中运用线段图寻找解决问题的思路,学生在一年级和二年级的上学期几乎还没有接触到运用线段图整理信息和问题,见到如何运用线段图分析数量关系,进入二年级下学期的后半段才接触到运用线段图整理信息和问题,并运用线段图分析数量关系,此时遇到的线段图可以说是非常综合的一个线段图,虽然能看到数量的多少,但是对于学生来说却是首次接触,并且是一个综合性较高的线段图。当此图呈现在学生面前,学生是没有前面学习经验的,而且也仅仅能模仿地解决类似的数学问题,这对于学生运用直观策略解决问题是非常不利的。学生在三年级上册和整个四年级便出现了运用线段图解决数学问题的断层。前面线段图的知识抽象不足,中途学习上遇到困难,后期学习中又出现了学习上的断层,进入五年级却呈现了“井喷”式呈现,当进入这样的学习情境,学生的学习是被动地接受,并不利于他们的学习。因此,从低年级起,便应重视运用线段图分析数量关系,根据线段图正确地列出算式。bqm一分六合,中小学德育网

线段图的学习,应贯穿在小学生数学学习的始终。首先,它是一种非常有效的寻找解决问题途径的策略,它将抽象的“文字信息”转化为“图形信息”,进而转化成“数学符号信息”,在这一过程中,“图形信息”起到了桥梁作用。对于小学生来说,文字信息的理解是一个难点,数学符号信息有时又是一个全新的事物,也是很难理解的,但是图形不同,图形是他们身边的,看得见,摸得着的,更是他们乐于接受的,相比较于其他解决问题的途径,线段图却又是最好理解的,我们应将其贯穿在解决问题的始终。其次,它又能呈现多样化的解题思路,利于学生思维的发展。在梳理青岛版教材中运用线段图寻找解决问题的思路中,许多题目都呈现了两种解决问题思路,在教学中,运用线段图整理信息和问题,帮助学生分析解决问题的思路时,往往能呈现出巧妙的方法,一针见血地进行解决。如有这样一道题目“某校音乐小组有25人,微机小组的人数是音乐小组的1.2倍,微机小组比音乐小组多多少人?”很多学生在分析数量关系后,很自然的想到要求“微机小组比音乐小组多多少人?”,需要先求微机小组的人数,即先求251.2倍是多少,再求“微机小组比音乐小组多多少人?”,用25×1.2-25。当我们画出线段图,直观地看到要求的部分,这一部分其实就是音乐小组的(1.2-1)倍,列式是25×(1.2-1)。对比两种解决问题的思路,当线段图呈现在学生面前,不仅呈现了新的解决问题的方法,而且也让学生真切地体会到线段图解决问题的价值。如果没有线段图直观地呈现,学生是很难想到第二种方法,即使我们呈现给学生,学生也是很难理解的,当线段图呈现在他们面前,复杂的数学问题变得简明、形象、直观,只需要稍加点拨,学生很容易理解和接受。最后,它沟通了许多数学问题的内在联系,借助线段图可以将不同的数学问题用统一的方法进行思考,有助于学生的自主学习。在梳理青岛版教材运用线段图解决问题的过程中,解决分数的实际问题很多都用上了线段图进行问题的分析,虽然它们的解题方法不同,有的用乘法,有的列方程,但是都需要寻找作为单位“1”的数量,通过相同数量或不同数量与作为单位“1”数量的比较,确定方法策略。当学生拥有了这样的经验,学生遇到分数的解决问题时,很容易想到先画出线段图进行数量关系的分析。当学生遇到与其类似的新问题时,很自然的去接受这样的挑战,这样学生变被动接受为主动探索,激发了学生积极的学习情感。bqm一分六合,中小学德育网

意义丰富的“线”,帮助学生打开了一扇认识数学世界的窗口,它让学生从模糊的抽象到直观的形象,让他们的学习有章可循、有迹可循,让他们的思考更加细腻、有序而深刻。当我们在普通的线上赋予了“特定的意义”,抽象的数学概念直观了,复杂的数学知识有用了,宽泛的实际问题形象了,难懂的解题思路好理解了,数学的学习也有“根”了。bqm一分六合,中小学德育网

3.    实用的bqm一分六合,中小学德育网

与线一样,单纯的几何学上的面,仅仅告诉我们立体图形上的“曲”与“平”,但是它对于图形与几何领域的许多问题,“面”是非常实用的。图形与几何领域的解决问题的一大特点,便是在草纸上画出草图,这一过程中需要在草纸的平面上画出需要的几何图形,无论是经验几何还是论证几何,都需要借助几何图形发现所研究图形的本质、关系或规律。根据题目的信息和问题,学生很容易完成第(1)问,即504÷16=31.5(米)。对于第二问,很多学生先求出面积增加后的长方形的面积,即:31.5×(16+12=882(平方米),然后再求面积增加多少,即882-504=378(平方米)。当我们仅仅通过题目已知的信息,这样的方法是不错,但是麻烦。当我们根据信息完善图形,我们很自然地发现其实第二问就是求一个长是31.5米,宽12米的长方形面积,于是直接可用31.5×12=378(平方米)。当根据题目要求画出要求的长方形,便可以深入理解问题的本质,便是要求增加的长方形的面积。于是,借助几何图形发现所研究图形的本质与关系,通过直观图呈现,复杂的数学问题变得简明、形象、直观,有助于探索解决问题的思路。bqm一分六合,中小学德育网

直观图的运用,在抽象的数学知识和形象的实际问题之间架设了桥梁,它一方面有助于学生理解数学知识的本质,另一方面有助于学生探寻解决问题的思路,预测结果。bqm一分六合,中小学德育网

4.    不一样的“体”bqm一分六合,中小学德育网

谈及“体”的直观教学,我想谈谈就是如何运用正方体帮助学生理解小数的意义。在学生学习一位小数和两位小数表示的意义和组成时,是让学生结合正方形纸片进行学习的,但在认识三位小数意义时,便借助了正方体。之所以更换研究的材料是因为如果再在正方形中认识三位小数并不好画,也不美观,通过更换研究材料,让学生能更好地研究三位小数,一个是直观方便,另一个便是体现数学的美。教学中,首先从正方体中拿出一个长方体板,如果这个用“1”表示,那0.1该如何表示呢?0.01呢?让学生说明理由。然后整个正方体用1表示,那么哪是0.1,哪是0.01,说明理由。看似很平常的环节,其实蕴意很丰富,首先教材中认为小数本质上是十进分数,如果这样理解,仅仅通过正方形纸片认识一位小数和两位小数便可以充分体现,但是我认为小数是通过“比较”获得的数,表示1的图形不同,那么0.10.01表示的图形也不同,但是却都是将1平均分成10份或100份,每份是,这样需要更进一步沟通小数与分数之间的联系。然后,让学生自己从这个正方体中拿出0.365。学生一开始也想了一段时间,一方面学生对0.365的组成还不清楚,另一方面作为初学,需要给学生一个思考过程,这个过程便是需要学生自己建立一位小数、两位小数和三位小数的联系。在思考交流中,要让学生明确0.3653650.001组成,于是需要学生从中找出365个小正方体。在此,不仅需要让学生明确0.001表示的意义和理由,更重要的是体现“数”的过程。于是,让学生明确0.365表示的意义,本环节通过“取”和“数”的过程,进一步让学生明白小数是需要数出来的。bqm一分六合,中小学德育网

其实,正方体模具是很好的操作工具,它不仅直观形象,更能很深刻地体现数学的本质,尤其是学习小数加减法时。小数加减法的本质与整数加减法一样,都是相同计数单位相加减,这一本质其实是对实物分类的抽象。正方体模具中所含有的“片片”长方体、“棍棍”长方体和“块块”小正方体,在小数加减计算中,很容易让学生明白相同数位上的数相加减的含义,原因在于需要将同类实物“放”在一起,同时不同的“片片”长方体、“棍棍”长方体和“块块”小正方体之间可以转化,这样退位减法便有了真实的模型,便于学生理解,更深刻地它沟通了整数加减法和小数加减法的联系。bqm一分六合,中小学德育网

对数学本质的追寻,是数学的魅力所在,通过对数学本质的追寻,让我们更清楚数字知识之间的内在联系,这样的追寻对学生数学学习是很有价值的,有助于学生对数学知识的理解和掌握,也让学生见到数学知识的背后的普遍联系、永恒发展和辩证统一,而这些启示离不开直观学具的操作使用。bqm一分六合,中小学德育网

几何直观中不简单的“点”、意义丰富的“线”、实用的“面”和不一样的“体”,不仅需要教师为学生提供思考的时间和空间,更需要教师引导学生积累丰富的实践经验,进而引导学生理性思考、概括和升华。几何直观具有思维的跳跃性,是直接感知、整体上把握并深刻洞察的一种思维能力,这样能力的培养需要学生长时间的积累和思考,同时也不能忽视学生先天的几何直观的潜质。几何直观有效的培养工作必须依托具体的数学课程教学内容,落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。 为此,教师具有培养学生几何直观的自觉意识是重要的,而将几何直观的培养自始至终落实在数学教学的每个环节,是更为重要的。这种工作以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点,以有效提升学生的几何直观水平作为终点,最终形成针对几何的 敏锐洞察力和深厚的数学素养。bqm一分六合,中小学德育网

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几何直观中的“点、线、面、体”

来源:一分六合  投稿人:孟庆凯  时间:2018-02-27